讀書心得 Computer Vision: Algorithms and Applications (2-1) Homogeneous Coordinates

本文出自 Computer Vision: Algorithms and Applications (2010) Richard Szeliski

Chp2. Image formation

考慮一個二維的向量:

$$\boldsymbol{x}=(x,y)\in \textit{R}^{2}$$

用矩陣之形式表示二維的向量:

$$\boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$

在 homogeneous coordinates 表示二維的向量:

$$\boldsymbol{\widetilde{x}} = (x,y,w)$$

其中 w 表示座標軸的遠近參數，通常設為1，如果要用來表示遠近感，則會設定為距離的倒數(0 為無窮遠)

在 homogeneous coordinates 考慮 l 向量:

$$\boldsymbol{\widetilde{l}} = (a,b,c)$$

則 l 形成一條線的條件如下(w = 1):

$$\boldsymbol{\widetilde{x}} \cdot\boldsymbol{\widetilde{l}} = ax +by +c = 0$$

推廣到三維的 homogeneous coordinates:

$$\boldsymbol{\widetilde{x}} = (x,y,z,1)$$

在 homogeneous coordinates 考慮 m 向量:

$$\boldsymbol{\widetilde{m}} = (a,b,c,d)$$

則 m 形成一平面的條件如下:

$$\boldsymbol{\widetilde{x}} \cdot\boldsymbol{\widetilde{m}} = ax +by +cz+ d = 0$$